Главное меню

Как составить уравнение прямой, проходящей через точку A (-3, 4)?

1
ТЕОРИЯ.

Уравнение прямой задаётся формулой y=kx+b

Если на плоскости заданы две точки с координатами: M1(x1;y1) и M2(x2;y2), то
общее уравнение прямой проходящей через 2 точки принимает вид:

(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1)

после элементарных преобразований получаем:

y=((y2-y1)/(x2-x1))*(x-x1) + y1, где член (y2-y1)/(x2-x1)=k называется угловым коэффициентом прямой

РЕШЕНИЕ ПРИМЕРОВ.

1. даны точки А (1;2) В (4;2), то есть х1=1 у1=2 х2=4 у2=2

у=((2-2)/(4-1))*(х-1) + 2 получили что у=2, то есть это прямая параллельная оси абсцисс и пересекает ось ординат в точке 2

2. даны точки А (3;-6) В (-4;2), то есть х1=3 у1=-6 х2=-4 у2=2

у=((2-(-6))/(-4-3))*(х-3) + (-6) = (8/(-7))*(х-3) - 6 = -(8/7)*х + (24/7) - 6 = -(8/7)*х - (18/7) = (-2/7)*(4х + 9), то есть получили не очень красивую формулу у = (-2/7)*(4х + 9), возможно из-за того, что не совсем верно заданы координаты точек на...

0 0
2
Прямая, плоскость, их уравнения Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки, примеры, решения.

В этой статье получено уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости, а также выведены уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. После изложения теории показаны решения характерных примеров и задач, в которых требуется составить уравнения прямой различного вида, когда известны координаты двух точек этой прямой.

Навигация по странице.


Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости.

Прежде чем получить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат на плоскости, вспомним некоторые факты.

Одна из аксиом геометрии гласит, что через две несовпадающие точки на плоскости можно провести единственную прямую....

0 0
3

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Определение точки пересечения двух прямых

Примеры задач с решениями

Найти уравнение прямой, проходящей через две точки: (-1, 2) и (2, 1).

Решение.

По уравнению

полагая в нем x1= -1,y1= 2,x2= 2,y2= 1 (без разницы, какую точку считать первой, какую - второй), получим

или

после упрощений получаем окончательно искомое уравнение в виде

x+ 3y- 5 = 0.

Стороны треугольника заданы уравнениями:

(AB) 2x+ 4y+ 1 = 0,
(AC)x-y+ 2 = 0,
(BC) 3x+ 4y-12 = 0.

Найти координаты вершин треугольника.

Решение.

Координаты вершины Aнайдем, решая систему, составленную из уравнений сторонABиAC:

Систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными решаем способами,...

0 0
4

Главная >> Лекции по высшей математике >> Аналитическая геометрия >> Уравнение прямой

Уравнение прямой на плоскости

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А...

0 0
5

Свойства прямой в евклидовой геометрии.

Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.

Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.

Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются

параллельными (следует из предыдущего).

В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:

прямые пересекаются; прямые параллельны; прямые скрещиваются.

Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия

задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Общее уравнение прямой.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В...

0 0
6

Глава II. Прямые на плоскости.

§ 28. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть даны две точки M1 и М2 с координатами (x1; y1) и (x2; y2). Чтобы составить уравнение прямой, проходящей через точки M1 и М2, примем вектор а = M1M2> за направляющий вектор этой прямой.

Каноническое уравнение прямой (§ 27), проходящей через точку M1 (x1; y1) и имеющей направляющий вектор а = (а1; а2), имеет вид

Подставив в это уравнение координаты вектора а = M1M2> = (x2 — x1; y2 — y1), получим

(1)

Это уравнение называется уравнением, прямой, проходящей через две точки.

Если в уравнении (1) один из знаменателей обращается в нуль, то для получения уравнения следует приравнять нулю соответствующий числитель.

Например, если x2 — x1 = 0, то искомым уравнением будет х — x1 = 0. В этом случае точки M1 и М2 находятся на одинаковом расстоянии от оси Оу и прямая M1М2 параллельна этой оси.

Часто бывает нужно...

0 0
7

Пусть прямая проходит через точки . В качестве направляющего вектора можно взять вектор

т.е. (рис. 11)

Рис. 11

Следовательно, Поскольку прямая проходит через точку , то согласно уравнениям (4.2), уравнение прямой имеет …
вид

(4.3)

Пример 35.Написать уравнение прямой, проходящей через точки

Решение. Воспользовавшись уравнением (4.3), получим:

или

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Эллипс

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек и этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

При этом не исключается совпадение фокусов. Очевидно, если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Рис. 12

Каноническое уравнение эллипса (5.1)

Величины и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса

Замечание. В предельном случае, когда эллипс...

0 0
8

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Представим уравнение прямой в задании в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и начальной координатой, т.е. в виде \(y = kx+b\). Представив в этом виде, мы найдем угловой коэффициент, который нам понадобится далее. Решаем $$4x-3y+2=0 => y = \frac{4}{3}x+\frac{2}{3}$$Получили \(k = \frac{4}{3}\) - угловой коэффициент прямой (или по другому - тангенс угла наклона прямой с положительным направлением оси Ox).

2. Воспользуемся условием перпендикулярных прямых $$k_1*k_2=-1$$, где \(k_1,k_2\) - угловые коэффициенты прямых. В п.1 мы нашли угловой коэффициент прямой в задании, теперь найдем угловой коэффициент перпендикулярной прямой \(k\)$$k*\frac{4}{3} = -1 => k = -\frac{3}{4}$$

3. Мы нашли угловой коэффициент прямой перпендикулярной заданной. Подставим его в уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной координатой, получим $$y = -\frac{3}{4}x + b$$Т.е. мы получили семейство прямых перпендикулярных...

0 0
9

1.Построить прямые, отсекающие на оси отрезок и составляющие с осью угол: 1) ; 2) . Написать уравнения этих прямых.

2.Построить прямые, отсекающие на оси отрезок и составляющие с осью угол: 1) ; 2) . Написать уравнения этих прямых.

3.Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей с осью угол: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

4.Построить прямую, проходящую через начало координат и через точку , написать ее уравнение.

5.Определить параметры и для каждой из прямых:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

6.Построить прямые:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

7.Определить параметры и прямой, проходящей через точку A(2; 3) и составляющей с угол . Написать уравнение этой прямой.

8.Привести к виду в отрезках на осях уравнения прямых:

1) ; 2) .

9.Даны точки и . На отрезке построен параллелограмм, диагонали которого пересекаются в точке . Написать уравнения сторон и диагоналей...

0 0